Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)B（0，4），離心率e=0．6．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若O（0，0），P（2，2），試探究在橢圓C內(nèi)部是否存在整點(diǎn)Q（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)都是

整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)），使得△OPQ的面積S△OPQ=4?若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）；否則，說明理由．

Answer 1

（1） （2）4

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，然后利用已知條件列出方程，可求得．

（2） 確定點(diǎn)Q在與直線OP平行且距離為的直線l上，可得l的方程，再分類討論，即可求出結(jié)論．

試題解析：【解析】
（1）設(shè)橢圓C的方程為 （a>b>0）， 1分

依題意得，b=4 ， ，又a2=b2+c2， 3分

∴a=5 ，b=4 ，c=3， 4分

所以橢圓C的方程為． 5分

（2）依題意得，，直線OP的方程為 y=x， 6分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015072006004888464861/SYS201507200600555879180806_DA/SYS201507200600555879180806_DA.006.png">，點(diǎn)Q到直線OP的距離為， 7分

所以點(diǎn)Q在與直線OP平行且距離為 的直線l上， 8分

設(shè)l：y=x+m，則解得m=±4， 10分

當(dāng)m=4時(shí)，由，消元得41x2+200x<0，即，x∈Z，

∴x=―4，―3，―2，―1，相應(yīng)的y也是整數(shù)，

此時(shí)滿足條件的點(diǎn)Q有4個(gè)． 14分

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

• 題型：
• 難度：
• 考核：
• 年級(jí)：