Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為正三角形，A₁A=AC=2，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，O為AC的中點(diǎn)．
（1）證明：A₁O⊥BC；
（2）若M，N分別是A₁C₁，BC的中點(diǎn)，求直線MN與平面ABC所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接A₁C，由已知可判斷△A₁AC為正三角形，根據(jù)等邊三角形三線合一結(jié)合平面A₁ACC₁⊥平面ABC，可得A₁O⊥平面ABC，進(jìn)而由線面垂直的定義，得到A₁O⊥BC；
（2）連接MC，可證得四邊形A₁OCM為平行四邊形，結(jié)合（1）的結(jié)論及線面垂直的第二判定定理可得MC⊥平面ABC，則∠MNC為直線MN與平面ABC所成的角，解三角形MNC可得答案．
解答：證明：（1）連接A₁C
∵A₁A=AC=2，∠A₁AC=60°，
∴△A₁AC為正三角形
又∵O為AC的中點(diǎn)
∴A₁O⊥AC
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，A₁O?平面A₁ACC₁
∴A₁O⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC
∴A₁O⊥BC
解：（2）連接MC
∵M(jìn)，O分別是A₁C₁，AC的中點(diǎn)．
∴四邊形A₁OCM為平行四邊形
∵A₁O⊥平面ABC，A₁O∥MC
∴MC⊥平面ABC，且MC=A₁O
∴∠MNC為直線MN與平面ABC所成的角
由（1）得MC=，NC=1
在Rt△MNC中，tan∠MNC==
∴∠MNC=60°
即直線MN與平面ABC所成的角為60°
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握空間線面垂直，線線垂直，面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系是解答的關(guān)鍵．