Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，a₁與a₄的等比中項(xiàng)是4$\sqrt{2}$，a₂和a₃的等差中項(xiàng)為6，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到a₂•a₃=a₁•a₄，根據(jù)已知條件列出關(guān)于a₂，a₃的方程解方程求出a₂，a₃，進(jìn)一步求出公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=log₂a_n=n，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1 的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式求解．

解答 解：（1）∵a₁與a₄的等比中項(xiàng)是4$\sqrt{2}$，a₂和a₃的等差中項(xiàng)為6，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{a}_{4}={a}_{2}{a}_{3}=32}\\{{a}_{2}{+a}_{3}=12}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=4}\\{{a}_{3}=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=8}\\{{a}_{3}=4}\end{array}\right.$
由公比q＞1，可得a₂=4，a₃=8，則q=2．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₂q^n-2=2ⁿ．
 （2）b_n=log₂a_n=n
數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1 的等差數(shù)列．
令{b_n}的前n項(xiàng)和為s_n．${s}_{n}=\frac{n}{2}（1+n）=\frac{1}{2}n（n+1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比、等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)，等差數(shù)列求和公式，屬于中檔題．