Question

計(jì)算由曲線y=x²+2，y=3x以及x=0，x=2圍成圖形的面積S．

Answer 1

分析：聯(lián)解

y=x2+2 y=3x

方程組，得曲線y=x²+2與直線y=3x交于點(diǎn)A（1，3）和B（2，6）．因此將所求面積分成兩個(gè)部分的和：S=

∫

1 0

(x2+2-3x)dx+

∫

2 1

(3x-x2-2) dx，然后利用定義分的計(jì)算公式，分別求出兩個(gè)函數(shù)的原函數(shù)，最后代入數(shù)據(jù)可計(jì)算出它們的值，相加即得所求圖形的面積S．

解答：解：首先，聯(lián)解

y=x2+2 y=3x

，得

x=1 y=3

或

x=2 y=6

∴曲線y=x²+2與直線y=3x交于點(diǎn)A（1，3）和B（2，6）
所以所求面積為
S=

∫

1 0

(x2+2-3x)dx+

∫

2 1

(3x-x2-2) dx
=(

1

3

x3+2x-

3

2

x2+C1)

|

1 0

+(

3

2

x2- 

1

3

x3 -2x+C2)

|

2 1

  （其中C₁、C₂是常數(shù)）
=[(

1

3

•13+2-

3

2

•12+C1  )-C1]+[(

3

2

•22-

1

3

•23 -2•2+C2)-(

3

2

•12-

1

3

•13 -2•1+C2  )]
=1
因此，所求的面積為S=1

點(diǎn)評(píng)：本題以求四條曲線所圍成的面積為例，著重考查了定積分在求曲邊圖形的面積中的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，牢記定積分的計(jì)算公式，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．