Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線為為橢圓上任意一點(diǎn)，直線，垂足為，直線與交于點(diǎn)．

（1）若，且，直線的方程為．①求橢圓的方程；②是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，求證：直線均與圓相切．

Answer 1

【答案】（1）①；②不存在；（2）證明見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)左準(zhǔn)線方程求出參數(shù)a，從而得出橢圓方程；

②設(shè)出，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上且得出關(guān)于的方程組，根據(jù)解的情況，得出結(jié)果；

（2）設(shè)點(diǎn)，，根據(jù),求出，對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助在圓上，進(jìn)而得出結(jié)果.

解：（1）①因?yàn)橹本�的方程為，

所以

因?yàn)?/span>，

所以，解得或

因?yàn)?/span>，

所以，，

橢圓方程為.

②設(shè)，則，即，

當(dāng)或時(shí)，均不符合題意；

當(dāng)或時(shí)，直線的斜率為，

直線的方程為，

故直線的方程為，

聯(lián)立方程組，解得，

所以，

因?yàn)?/span>，

故，

即或

方程的根為，

因?yàn)?/span>，故無解；

方程的，故無解，

綜上：不存在點(diǎn)P使.

（2）設(shè)，

則，，

因?yàn)?/span>,

所以，

即，

由題意得，所以，

所以

因?yàn)?/span>，

所以

因?yàn)?/span>在圓上，所以，即，

故，

所以，

所以直線與圓相切，

同理可證：與圓相切.