Question

橢圓E：+=1（a＞b＞0）的焦點到直線x-3y=0的距離為，離心率為，拋物線G：y²=2px（p＞0）的焦點與橢圓E的焦點重合；斜率為k的直線l過G的焦點與E交于A，B，與G交于C，D．
（1）求橢圓E及拋物線G的方程；
（2）是否存在學常數(shù)λ，使為常數(shù)，若存在，求λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點到直線的距離公式列式求出c的值，結合土偶眼離心率求出a的值，再由拋物線G：y²=2px（p＞0）的焦點與橢圓E的焦點重合即可求得橢圓方程和拋物線方程；
（2）依次射出A，B，C，D四點的坐標，設出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)關系分別寫出A，B兩點橫坐標的和與積，寫出C，D兩點橫坐標的和與積，利用弦長公式求出AB和CD的長度，代入后可求出使為常數(shù)的λ的值．
解答：解：（1）設E、G的公共焦點為F（c，0），由題意得，．
聯(lián)立解得．
所以橢圓E：，拋物線G：y²=8x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
直線l的方程為y=k（x-2），與橢圓E的方程聯(lián)立，得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
△=400k⁴-20（5k²+1）（4k²-1）=20（k²+1）＞0．

=．
直線l的方程為y=k（x-2），
與拋物線G的方程聯(lián)立，得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0．
．
．
=．
要使為常數(shù)，則20+=4，得．
故存在，使為常數(shù)．
點評：本題主要考查了曲線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系的應用，訓練了設而不求的解題思想方法，考查了弦長公式的用法，直線與圓錐曲線問題的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是難題．