Question

若曲線C：y=x³-2ax²+2ax上任意點處的切線的傾斜角都為銳角，且a為整數．
（1）求曲線C的解析式；
（2）求過點（1，1）的曲線的切線方程．

Answer 1

分析：（1）根據曲線C：y=x³-2ax²+2ax上任意點處的切線的傾斜角都為銳角，可得y'=3x²-4ax+2a＞0恒成立，結合a為整數，可求曲線C的解析式；
（2）設出切點坐標，表示出切線方程，利用切點在曲線及切線上，即可求得過點（1，1）的曲線的切線方程．

解答：解：（1）∵曲線C：y=x³-2ax²+2ax上任意點處的切線的傾斜角都為銳角
∴y'=3x²-4ax+2a＞0恒成立，
∴△=16a²-24a＜0，
∴a∈(0，

3

2

)，…．（3分）
∵a∈Z，
∴a=1，
∴f（x）=x³-2x²+2x…（6分）
（2）令切點為（(x0，x03-2x02+2x0)，
∴y-(x03-2x02+2x0)=(3x02-4x0+2)(x-x0)，…（8分）
∵點（1，1）在切線上，
∴1-(x03-2x02+2x0)=(3x02-4x0+2)(1-x0)，
∴2x03-5x02+4x0-1=0，
∴(x0-1)(2x02-3x0+1)=0，
∴(x0-1)2(2x0-1)=0，
∴x₀=1或x0=

1

2

．
∴切線方程為y=x或y=

3

4

x+

1

4

…．（12分）

點評：本題以函數為載體，考查導數知識的運用，考查切線的斜率，考查導數的幾何意義，應注意區(qū)分過點的切線與在點處的切線含義的不同．