Question

已知f（x）=2x³-5x，g（x）=x³+ax²+bx+c，x∈（0，+∞），設(shè)（1，f（1））是曲線y=f（x）與y=g（x）的一個公共點，且在此點處的切線相同．記g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g'（x），對任意x∈（0，+∞）恒有g(shù)'（x）＞0．
（1）求a，b，c之間的關(guān)系（請用b表示a、c）；
（2）求b的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析：（1）求a，b，c之間的關(guān)系可利用（1，f（1））是曲線y=f（x）與y=g（x）的一個公共點，且在此點處的切線相同，建立關(guān)于a，b，c的方程組，求出三者的關(guān)系．
（2）求b的取值范圍，可根據(jù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g'（x），對任意x∈（0，+∞）恒有g(shù)'（x）＞0轉(zhuǎn)化出含有b的不等式，求出它的范圍；
（3）證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）≥g（x）．可構(gòu)造一個新函數(shù)，令F（x）=f（x）-g（x），將不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求F（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立的問題．

解答：解：（1）f'（x）=6x²-5，f（1）=-3，f'（1）=1，g'（x）=3x²+2ax+b，g（1）=1+a+b+c，g'（1）=3+2a+b．
由條件可得

a+b+c+4=0 2a+b+2=0

故a=-

b

2

-1，c=-3-

b

2

．
（2）∵當(dāng)x∈（0，+∞）時，g'（x）=3x²+2ax+b＞0恒成立，
∴△=4a²-12b＜0，或

△≥0 - 2a 6 ≤0 g′(0)=b≥0

得b∈(4-2

3

，4+2

3

)．
（3）令F（x）=f（x）-g（x），則F（1）=0，F(xiàn)'（x）=3x²-2ax-b-5=3x²+（b+2）x-b-5=（3x+b+5）（x-1）．
∵x∈(0，+∞)，b∈(4-2

3

，4+2

3

)，
∴3x+b+5＞0．
當(dāng)x∈（0，1）時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）＞F（1）=0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）＞F（1）=0．
綜上，當(dāng)x∈（0，+∞）時，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x）．

點評：本題本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第三小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間上的最值的問題．利用最小值恒大于等于0得出兩個函數(shù)在所研究的區(qū)間上的大小問題．本題綜合性較強(qiáng)，注意綜合條件確定轉(zhuǎn)化的方向．