【題目】已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an+12+an2< ,n∈N* , Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若a2= ,a3=x,a4=4,求x的取值范圍;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,若 <Sn+1<2Sn , n∈N* , 求q的取值范圍;
(3)若a1 , a2 , …,ak(k≥3)成等差數(shù)列,且a1+a2+…+ak=120,求正整數(shù)k的最小值,以及k取最小值時(shí)相應(yīng)數(shù)列a1 , a2 , …,ak .
【答案】
(1)解:∵首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an+12+an2< ,n∈N*,化為(2an+1﹣an)(an+1﹣2an)<0,
∴ <2.
又a2= ,a3=x,a4=4,
∴ , ,
解得:2<x<3.
∴x的取值范圍是(2,3)
(2)解:由于首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an},
∵ <2.∴ .
①q=1時(shí),n=1時(shí)不滿足: <Sn+1<2Sn,n∈N*,因此q≠1.
②可得 <2 ,
<q<1時(shí),化為2qn+1﹣qn<1,qn+1﹣2qn+1>0,由于qn(2q﹣1)<1,因此2qn+1﹣qn<1恒成立;由qn<q,可得q2n<qn+1,∴qn ,∴2qn <1+qn+1,因此qn+1﹣2qn+1>0恒成立,可得: <q<1.
2>q>1時(shí),化為2qn+1﹣qn﹣1>0,qn+1﹣2qn+1<0,無解,舍去.
綜上可得: <q<1
(3)解:設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的公差為d,d≥0,
由 <2,可得 < <2,
化為1+(n﹣1)d<2(1+nd)<4[1+(n﹣1)d],
n=1時(shí),0≤d<1;n=2時(shí),d≥0;
n≥3時(shí),d≥0.
綜上可得:0≤d<1.
∵a1,a2,…,ak(k≥3)成等差數(shù)列,a1+a2+…+ak=120,
∴k+ d=120,
k=1時(shí),不成立,舍去.
k≥2時(shí),解得d= ,
∵0≤d<1.
∴0≤ <1.
解得:15<k≤120.
∴滿足條件的正整數(shù)k的最小值為16,此時(shí)d= ,
相應(yīng)數(shù)列的通項(xiàng)公式為:an=1+ (n﹣1)= .
數(shù)列為:1,
【解析】(1)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an+12+an2< ,n∈N* , 化為(2an+1﹣an)(an+1﹣2an)<0,解得: <2.又a2= ,a3=x,a4=4,代入解出即可得出.(2)由于首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an},由于 <2.可得 .對(duì)q分類討論:q=1時(shí),n=1時(shí)不滿足條件,因此q≠1.②由 <2 , <q<1時(shí),經(jīng)過驗(yàn)證成立: <q<1.2>q>1時(shí),化為2qn+1﹣qn﹣1>0,qn+1﹣2qn+1<0不成立,舍去.(3)設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的公差為d,d≥0,由 <2,化為1+(n﹣1)d<2(1+nd)<4[1+(n﹣1)d].分類討論:n=1時(shí),n=2時(shí),n≥3時(shí),可得:0≤d<1.根據(jù)a1 , a2 , …,ak(k≥3)成等差數(shù)列,a1+a2+…+ak=120,可得k+ d=120,k=1時(shí),不成立,舍去.k≥2時(shí),解得d= ,代入解得:15<k≤120.即可得出.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(及其變式)和數(shù)列的前n項(xiàng)和,掌握通項(xiàng)公式:;數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知⊙M:(x+1)2+y2= 的圓心為M,⊙N:(x﹣1)2+y2= 的圓心為N,一動(dòng)圓M內(nèi)切,與圓N外切. (Ⅰ)求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)A,B分別為曲線P與x軸的左右兩個(gè)交點(diǎn),過點(diǎn)(1,0)的直線l與曲線P交于C,D兩點(diǎn).若 =12,求直線l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函數(shù),g(x)= 是奇函數(shù),那么a+b的值為( )
A.1
B.﹣1
C.﹣
D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,半徑為1,圓心角為 的圓弧 上有一點(diǎn)C.
(1)若C為圓弧AB的中點(diǎn),點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動(dòng),求| |的最小值;
(2)若D,E分別為線段OA,OB的中點(diǎn),當(dāng)C在圓弧 上運(yùn)動(dòng)時(shí),求 的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且 = ,a1=m,現(xiàn)有如下說法: ①a2=5;
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=3n+m﹣3;
③a2+a4+…+a2n=3n2+2n.
則上述說法正確的個(gè)數(shù)為( )
A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1 . 求證:
(1)直線DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;
(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí),求線段BQ的長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣4x+1.
( I)當(dāng)x∈[0,3]時(shí),畫出函數(shù)y=f(x)的圖象并寫出值域;
(II)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào),求a的取值范圍.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com