Question

19．已知函數(shù)f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+3）x+1]，若f（x）的值域?yàn)椋?∞，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍1$≤a≤1+\frac{5\sqrt{3}}{3}$或1$-\frac{5\sqrt{3}}{3}$≤a≤-1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，應(yīng)使對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)取到所有的正數(shù)，由此討論真數(shù)的值域即可，關(guān)鍵是分類得出（1）當(dāng)a²-1=0時(shí)
（2）當(dāng)a²-1≠0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△=（a+3）^{2}-4（{a}^{2}-1）≥0}\end{array}\right.$．

解答 解；∵函數(shù)y=lg[（a²-1）x²+（a+3）x+1]的值域?yàn)镽，
∴（1）當(dāng)a²-1=0時(shí)，a=1或a=-1，
驗(yàn)證當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lg（4x+1）的值域?yàn)椋?∞，+∞），
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lg（2x+1）的值域?yàn)椋?∞，+∞），
∴a=1，a=-1符合題意．
（2）當(dāng)a²-1≠0時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△=（a+3）^{2}-4（{a}^{2}-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{3{a}^{2}-6a-13≤0}\end{array}\right.$解得：1$＜a≤1+\frac{5\sqrt{3}}{3}$或1-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$≤a＜-1
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是：1$≤a≤1+\frac{5\sqrt{3}}{3}$或1$-\frac{5\sqrt{3}}{3}$≤a≤-1
故答案為：1$≤a≤1+\frac{5\sqrt{3}}{3}$或1$-\frac{5\sqrt{3}}{3}$≤a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)理解數(shù)函數(shù)的解析式以及定義域和值域是什么，分類討論求解得出不等式組即可，屬于中檔題題