Question

8．在銳角△abc中，若a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$．則b+c的取值范圍$（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 由正弦定理可得：$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，可得b+c=2sinB+2sin（$\frac{2π}{3}$-B）=2$\sqrt{3}$sin$（B+\frac{π}{6}）$．再利用B的取值范圍與三角函數(shù)的單調性值域即可得出．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，C=$\frac{2π}{3}$-B．
∴b+c=2sinB+2sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=2sinB+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=3sinB+$\sqrt{3}$cosB
=2$\sqrt{3}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）$
=2$\sqrt{3}$sin$（B+\frac{π}{6}）$．
∵B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，∴sin$（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
∴b+c∈$（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．
故答案為：$（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的單調性值域、和差公式、正弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．