Question

3．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=log₂x，則f（x）＞0的解集為（1，+∞）∪（-1，0）．

Answer 1

分析 x＜0，則-x＞0，代入解析式后，利用奇函數(shù)的關(guān)系式求出x＜0時的解析式，再對x分兩種情況對不等式進(jìn)行求解，注意代入對應(yīng)的解析式，最后要把解集并在一起．

解答 解：設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=log₂x，∴f（-x）=log₂（-x），
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-log₂（-x），
①當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）＞0，即log₂x＞0，
解得1＜x，
②當(dāng)x∈（-∞，0）時，f（x）＞0，即-log₂（-x）＞0，
則log₂（-x）＜0=log₂1，解得0＞x＞-1，
綜上，不等式的解集是（1，+∞）∪（-1，0）．
故答案為：（1，+∞）∪（-1，0）．

點評 本題考查了求定區(qū)間上的函數(shù)解析式，一般的做法是“求誰設(shè)誰”，即在那個區(qū)間上求解析式，x就設(shè)在該區(qū)間內(nèi)，再利用負(fù)號轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入解析式進(jìn)行化簡，再利用奇函數(shù)的定義f（x），再求出不等式的解集．