Question

如圖所示，過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F作直線交C于A、B兩點，過A、B分別向C的準線l作垂線，垂足為A′，B′，已知四邊形AA′B′F與BB′A′F的面積分別為15和7，則△A′B′F的面積為

6

．

Answer 1

分析：設(shè)△A′B′F的面積為S，直線AB：x=my+

p

2

，代入拋物線方程，利用韋達定理，計算S_△AA'F，S_△BB'F，求出面積的積，利用四邊形AA′B′F與BB′A′F的面積分別為15和7，建立方程，即可求得△A′B′F的面積．

解答：解：設(shè)△A′B′F的面積為S，直線AB：x=my+

p

2

，代入拋物線方程，消元可得y²-2pmy-p²=0
設(shè)A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），則y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm
S_△AA'F=

1

2

|AA'|×|y₁|=

1

2

|x₁+

p

2

||y₁|=

1

2

（

y 2 1

2p

+

p

2

）|y₁|
S_△BB'F=

1

2

|BB'|×|y₂|=

1

2

|x₂+

p

2

||y₂|=

1

2

（

y 2 2

2p

+

p

2

）|y₂|
∴

1

2

（

y 2 1

2p

+

p

2

）|y₁|×

1

2

（

y 2 2

2p

+

p

2

）|y₂|=

p2

4

（

p2

2

+

y 2 1

4

+

y 2 2

4

）=

p4

4

（m²+1）
S_△A′B′F=

p

2

|y₁-y₂|=p2

m2+1

=S
∵四邊形AA′B′F與BB′A′F的面積分別為15和7
∴

p4

4

（m²+1）=（15-S）（7-S）
∴

1

4

S²=（15-S）（7-S）
∴

3

4

S²-22S+105=0
∴S=6
故答案為：6

點評：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查面積的計算，解題的關(guān)鍵是正確求出三角形的面積，屬于中檔題．