Question

如圖所示，過(guò)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線交C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別向C的準(zhǔn)線l作垂線，垂足為A′，B′，已知四邊形AA′B′F與BB′A′F的面積分別為15和7，則△A′B′F的面積為_(kāi)_______．

Answer 1

6
分析：設(shè)△A′B′F的面積為S，直線AB：x=my+，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算S_△AA'F，S_△BB'F，求出面積的積，利用四邊形AA′B′F與BB′A′F的面積分別為15和7，建立方程，即可求得△A′B′F的面積．
解答：設(shè)△A′B′F的面積為S，直線AB：x=my+，代入拋物線方程，消元可得y²-2pmy-p²=0
設(shè)A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），則y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm
S_△AA'F=|AA'|×|y₁|=|x₁+||y₁|=（+）|y₁|
S_△BB'F=|BB'|×|y₂|=|x₂+||y₂|=（+）|y₂|
∴（+）|y₁|×（+）|y₂|=（++）=（m²+1）
S_△A′B′F=|y₁-y₂|==S
∵四邊形AA′B′F與BB′A′F的面積分別為15和7
∴（m²+1）=（15-S）（7-S）
∴S²=（15-S）（7-S）
∴S²-22S+105=0
∴S=6
故答案為：6
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確求出三角形的面積，屬于中檔題．