Question

已知函數f（x）=

1

3

ax³+bx²+x+3，其中a＞0，
（Ⅰ）當a、b滿足什么關系時，f（x）存在極值；
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間（0，1]上單調遞增，試用a表示b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要取得極值，導函數為0的方程恰有兩個不同的解，利用判別式，即可求得結論；
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間（0，1]上單調遞增，需使f′（x）=ax²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立，分離參數，可得b≥-

ax

2

-

1

2x

在（0，1]上恒成立，所以b≥(-

ax

2

-

1

2x

)max，分類討論，確定函數g(x)=-

ax

2

-

1

2x

的最值即可用a表示b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=ax²+2bx+1，令f′（x）=0，得ax²+2bx+1=0，
要取得極值，方程ax²+2bx+1=0恰有兩個不同的解，
所以△=4b²-4a＞0，即b²＞a，
綜上，當a，b滿足b²＞a時，f（x）取得極值．
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間（0，1]上單調遞增，需使f′（x）=ax²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．
即b≥-

ax

2

-

1

2x

在（0，1]上恒成立，所以b≥(-

ax

2

-

1

2x

)max
當a＞1時，0＜

1

a

＜1，當x∈(0，

1

a

)時，g(x)=-

ax

2

-

1

2x

是單調增函數；
當x∈(

1

a

，1]時，g(x)=-

ax

2

-

1

2x

是單調減函數，
所以當x=

1

a

時，g(x)=-

ax

2

-

1

2x

取得最大，最大值為g(

1

a

)=-

a

，所以b≥-

a

當0＜a≤1時，

1

a

≥1，所以g(x)=-

ax

2

-

1

2x

在區(qū)間（0，1]上單調遞增，當x=1時g（x）最大，最大值為g（1）=-

a+1

2

，所以b≥-

a+1

2

綜上，當a＞1時，b≥-

a

； 當0＜a≤1時，b≥-

a+1

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查分離參數法，解題的關鍵是求導數，利用分離參數法，求參數的范圍．