Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=b=1，求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的取值范圍；
（Ⅱ）若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，記M（a，b）=a-b，求M（a，b）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間的范圍即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為e^x≥ax-b恒成立，易知a≥0，通過討論a的范圍，得到a＞0時即a-b≤e^x-ax+a恒成立，令g（x）=e^x-ax+a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a-b≤2a-alna，令h（a）=2a-alna，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=b=1時，f（x）=e^x-x+1，
f′（x）=e^x-1，
f′（x）=e^x-1=0的根是x=0，且
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減．
所以f（x）_min=f（0）=2，f（x）_max=max{f（-1），f（2）}=e²-1，
所以f（x）在區(qū)間[-1，2]上的取值范圍是[2，e²-1]．
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立，即e^x≥ax-b恒成立，易知a≥0，
若a=0，則-b≤0，即a-b≤0，
若a＞0，由e^x≥ax-b恒成立，即b≥-e^x+ax恒成立，
即a-b≤e^x-ax+a恒成立，
令g（x）=e^x-ax+a，則g′（x）=e^x-a，當(dāng)x=lna時，g′（x）=0，
當(dāng)x＞lna時，g′（x）＞0，當(dāng)x＜lna時，g′（x）＞0，
所以g（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．
所以g（x）_min=g（lna）=2a-alna，
從而，a-b≤2a-alna，令h（a）=2a-alna，
因?yàn)閔′（a）=1-lna，
所以，e是h（a）的極大值，
所以h（a）≤h（e）=e，故a-b的最大值是e．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．