Question

8．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)k＞1，關(guān)于x的不等式$k（{x-a}）＞\frac{2x}{e^x}$在（0，+∞）上恒成立，則a的最大整數(shù)值為（　�。�

• A． 0
• B． -1
• C． -2
• D． -3

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象求出a的范圍，從而確定a的最大整數(shù)值即可．

解答 解：令$f（x）=\frac{2x}{e^x}（{x＞0}）$，依題意，對(duì)任意k＞1，
當(dāng)x＞0時(shí)，y=f（x）圖象在直線y=k（x-a）下方，
$f'（x）=\frac{{2（{1-x}）}}{e^x}$，
x，f′（x），f（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	$\frac{2}{e}$	遞減

y=f（x）的大致圖象：

則當(dāng)a=0時(shí)，∵f'（0）=2，∴當(dāng)1＜k＜2時(shí)不成立；
當(dāng)a=-1時(shí)，設(shè)y=k₀（x+1）與y=f（x）相切于點(diǎn)（x₀，f（x₀））．
則${k_0}=\frac{{2（{1-{x_0}}）}}{{{e^{x_0}}}}=\frac{{f（{x_0}）}}{{{x_0}+1}}?1-{x_0}^2={x_0}$，解得${x_0}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}∈（{0，1}）$．
∴${k_0}=\frac{{3-\sqrt{5}}}{{{e^{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}}}}＜\frac{1}{{\sqrt{e}}}＜1$，故成立，∴當(dāng)a∈Z時(shí)，a_max=-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．