Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過橢圓由焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當(dāng)直線AB斜率為0時，弦AB長4．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線AB斜率為1時，求弦AB長；
（3）過橢圓的對稱中心O，作直線L，交橢圓與M，N，三角形FMN是否存在在大面積？若存在，求出它的最大面積值．若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，2a=4，又a²=b²+c²，解得：a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，即可求出橢圓的方程；
（2）寫出直線AB的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出A，B的橫坐標(biāo)，代入弦長公式求弦AB長；
（3）分L的斜率存在和不存在求解，當(dāng)直線L的斜率不存在時，M，N為橢圓短軸的兩個端點，直接求面積，當(dāng)直線L的斜率存在時，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程，求出M，N的縱坐標(biāo)，代入弦長公式可得面積的范圍，則答案可求．

解答 解：（1）∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，2a=4，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，
又a²=b²+c²，解得：b²=1，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由題意可知直線AB的方程為y=x-$\sqrt{3}$，
聯(lián)立直線與橢圓方程得：5x²-8$\sqrt{3}$x+8=0，
解得${x}_{1}=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5}，{x}_{2}=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}×\frac{4\sqrt{2}}{5}=\frac{8}{5}$；
（3）當(dāng)直線L的斜率不存在時，M，N為橢圓短軸的兩個端點，
則|MN|=2b=2，F(xiàn)（$\sqrt{3}$，0），
∴${S}_{△FMN}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
當(dāng)直線L的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx（k≠0），
聯(lián)立直線方程與橢圓方程得（1+4k²）y²-4k²=0，解得y=$±\frac{2|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴${S}_{△FMN}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×|\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}|$$＜\sqrt{3}$．
綜上，當(dāng)直線L與y軸重合時，所得三角形FMN的面積最大，最大面積為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，訓(xùn)練了求解直線和圓錐曲線相交的問題，考查計算能力，是中檔題．