已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，圓的直徑為的長軸.如圖，是橢圓短軸端點，動直線過點且與圓交于兩點，垂直于交橢圓于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求 面積的最大值，并求此時直線的方程.

 

【答案】

（1） （2）

【解析】

試題分析：（1）已知橢圓的離心率為即可得到與的關(guān)系式,再結(jié)合橢圓過點,代入橢圓方程組成方程組可求解得到橢圓方程; （2） 要求面積可先求兩個弦長度,是一直線與圓相交得到的弦長,可采用圓的弦長公式,而是橢圓的弦長,使用公式求解,把面積表示成變量的函數(shù), 求其最值時可用換元法求解.對當斜率為0時要單獨討論.

試題解析：（1）由已知得到,所以,即.

又橢圓經(jīng)過點,故,

解得,

所以橢圓的方程是

（2）因為直線且都過點

①當斜率存在且不為0時,設(shè)直線,直線,即,

所以圓心到直線的距離為,所以直線被圓所截弦

由得,

所以

.

所以.

令,則,

當,即時,等號成立,

故面積的最大值為,此時直線的方程為

②當斜率為0時,即,此時

當的斜率不存在時,不合題意;

綜上, 面積的最大值為,此時直線的方程為.

考點：直線與圓的位置關(guān)系,弦長公式,換元法求函數(shù)最值.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　�。�
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準線方程為x=±8，求這個橢圓的標準方程；
（2）假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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