Question

對于數(shù)列{a_n}，規(guī)定{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N*）；類似的，規(guī)定{△²a_n}為數(shù)列{a_n}的二階差分?jǐn)?shù)列，其中△²a_n=△a_n+1-△a_n（n∈N*）．
（Ⅰ）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3n²-5n（n∈N*），試證明{△a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且滿足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N*），令b_n=，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記c_n=，求證：c₁++…+＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²-（n+1）-n²+n=5n-4，所以△a_n+1-△a_n=6．由此能夠證明{△a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由△² a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，知△a_n-a_n=2ⁿ．由此入手能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，從而求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）由a_n=n•2^n-1，c_n===，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，，從而可證．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意：△a_n=a_n+1-a_n=3（n+1）²-5（n+1）-3n²+5n=6n-2．（2分）
∴△a_n+1-△a_n=6
∴數(shù)列{△a_n}是首項(xiàng)為4，公差為6的等差數(shù)列．（3分）
（Ⅱ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，∴△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，⇒△a_n-a_n=2ⁿ．
而△a_n=a_n+1-a_n，∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，（5分）
∴-=，即b_n+1-b_n=，（6分）
∴數(shù)列{b_n}構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即b_n=．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知=，則a_n=n•2^n-1，
∴c===（9分）
∴當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)==（-），
∴c₁+++=1+[（-）+（-）+（-）++（-）+（-）]
=1+（+--）＜1+（+）=．
當(dāng)n=1時(shí)，c₁=1＜，顯然成立
∴c₁+++＜．（12分）
點(diǎn)評：第（Ⅰ）題考查等差數(shù)列的證明，解題時(shí)要注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用；第（Ⅱ）題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用；第（Ⅲ）題考查數(shù)列前n項(xiàng)和的證明，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．