Question

（1）（幾何證明選講）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，CD⊥AB，垂足為D，且AD=5DB，設∠COD=θ，則tanθ的值為

5

2

．
（2）（坐標系與參數(shù)方程）圓O₁和圓O₂的極坐標方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，則經(jīng)過兩圓圓心的直線的直角坐標方程為

x-y-2=0

．
（3）（不等式選講）若不等式|3x-b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有0，1，2，則b的取值范圍是

（2，4）

．

Answer 1

分析：（1）求tanθ的值，可轉(zhuǎn)化為解△OCD，根據(jù)相交弦定理，不難求出CD與半徑的關系，根據(jù)已知也很容易求出OD與半徑的關系；
（2）把 圓O₁和圓O₂的極坐標方程化為直角坐標方程，求出兩個圓的圓心坐標，用截距式求出經(jīng)過兩圓圓心的直線的直角坐標方程，并化為一般式．
（3）由不等式|3x-b|＜4可得可得

b-4

3

＜x＜

4+b

3

，由題意可得-1≤

b-4

3

＜0，且 2＜

4+b

3

≤3，由此求得b的取值范圍．

解答：解：（1）令圓O的半徑為R，即OA=OB=OC=R
∵AD=5DB∴OD=

2

3

R，AD=

5

3

R，BD=

1

3

R
由相交弦定理可得：CD²=AD•BD=

5

9

R2，∴CD=

5

3

R
∴tanθ=

CD

OD

=

5

2

（2））∵圓O₁和圓O₂的極坐標方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，
故它們的直角坐標方程為x²+y²=4x，x²+y²=-4y，
故圓心坐標分別為（2，0）、（0，-2），
故經(jīng)過兩圓圓心的直線的直角坐標方程

x

2

+

y

-2

=1，即x-y-2=0；
（3）由不等式|3x-b|＜4可得

b-4

3

＜x＜

4+b

3

，
由解集中的整數(shù)有且僅有0，1，2，可得-1≤

b-4

3

＜0，且 2＜

4+b

3

≤3．
解得-1≤b＜4，且 2＜b≤5，故有2＜b＜4，
故b的取值范圍是（2，4），
故答案為：

5

2

；x-y-2=0；（2，4）．

點評：本題主要考查幾何證明選講，考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．