Question

對于定義域為D的函數y=f（x）和常數C，若對任意正實數ξ，存在x∈D，使得0＜|f（x）-c|＜ξ恒成立，則稱函數y=f（x）為“斂C函數”．現給出如下函數：
①f（x）=x（x∈Z）； ②f（x）=（

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）^x+1（x∈Z）；③f（x）=log₂x；
其中為“斂1函數”的有（　　）

• A、②
• B、①③
• C、②③
• D、①③

Answer 1

考點：函數的值域

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：由“斂C函數”的定義可知，當自變量x趨近于某個值或無窮大時，函數值y無限趨近于一個常數C，由此性質對三個函數逐一判斷

解答： 解：對于函數①f（x）=x，取ξ=

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，因為x∈Z，找不到x，使得0＜|x-1|＜

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成立，所以函數①不是“斂1函數”；
對于函數②f(x)=(

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)x+1(x∈z)，當x→+∞時，(

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)x→0，所以，(

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) x+1→1，對任意正實數ξ，總能找到一個足夠大的正整數x，
使得0＜|f（x）-1|＜ξ，故函數②是“斂1函數
對于函數③f（x）=log₂x，當x→2時，log₂x→log₂2=1，所以對于無論多大或多小的正數ξ，總會找到一個x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立
故函數③是“斂1函數”；
故選C

點評：本題主要是考查對“斂C函數”的定義準確理解，屬于中檔題