Question

如圖，某城市有一條公路從正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向東北方OB，現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，為了市民出行方便與城市環(huán)境問題，現(xiàn)要求市中心O到AB的距離為10km，設(shè)∠OAB=α．
（1）試求AB關(guān)于角α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問把A、B分別設(shè)在公路上離市中心O多遠(yuǎn)處，才能使AB最短，并求其最短距離．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：應(yīng)用題

分析：（1）作OM垂直AB，垂足為M，則OM=10，由題意∠AOB=135°，在△AOB中，利用正弦定理表示出AB，在△MOB中，表示出OB，最后利用正弦定理求得AB．
（2）先表示出AB，根據(jù)α的范圍確定AB的最小值，及此時(shí)α的值，進(jìn)而求得OA．

解答： 解（1）如圖，作OM垂直AB，垂足為M，則OM=10，
由題意∠AOB=135°，α∈（0°，45°），∠OBA=45°-α．  
在△AOB中，由正弦定理得

AB

sin135°

=

OB

sinα

，即AB=

2

2

•

OB

sinα

．
在△MOB中，OB=

10

sin(45°-α)

，
∴AB=

2

2

•

OB

sinα

=

2

2

•

10

sinαsin(45°-α)

=5

2

1

sinαsin(45°-α)

．
（2）AB=

2

2

•

10

sinα(sin45°cosα-cos45°sinα)

=

10

sinαcosα-sin2α

=

20

sin2α+cos2α-1

=

20

2 sin(2α+45°)-1

．
因?yàn)棣痢剩?°，45°），所以當(dāng)α=22.5°時(shí)有AB的最小值20(

2

+1)．
此時(shí)，OA=OB=

10

sin22.5°

=10

4+2 2

．
答：A，B都設(shè)在公路上離市中心10

4+2 2

km處，才能使AB最短，其最短距離是20(

2

+1)km．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．