Question

（2011•遂寧二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足an(2bn-1)=1，記T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．求證：2T_n+1＜log₂（a_n+3）

Answer 1

分析：（I）n=1時(shí)，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．n≥2時(shí)，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0由此能求出a_n．
（II）根據(jù)數(shù)列{b_n}滿足an(2bn-1)=1，可得bn=log2

3n

3n-1

，從而T_n=b₁+b₂+…+b_n=log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)，利用分析法證明．要證2T_n+1＜log₂（a_n+3），即證2log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)+1＜log₂（a_n+3），即證

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )2

3n+2

＜1，構(gòu)造函數(shù)cn=

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )2

3n+2

，可得{c_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，即可證出結(jié)論．

解答：（I）解：n=1時(shí)，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．
n≥2時(shí)，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}為等差數(shù)列，
∵a₁=2，
∴a_n=3n-1．
（II）證明：∵數(shù)列{b_n}滿足an(2bn-1)=1，
∴bn=log2

3n

3n-1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)
要證2T_n+1＜log₂（a_n+3），即證2log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)+1＜log₂（a_n+3）
即證(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)2＜

3n+2

2

即證

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )2

3n+2

＜1
令cn=

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )2

3n+2

，
∴

cn+1

cn

=

9n2+18n+9

9n2+21n+10

＜1
∵c_n＞0，∴c_n+1＜c_n，
∴{c_n}是單調(diào)遞減數(shù)列
∴cn≤c1=

2×( 3 2 )2

3×1+2

=

9

10

＜1
∴cn=

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )2

3n+2

＜1
故2T_n+1＜log₂（a_n+3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．