Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若f（x）=sinx+cosx，求f（A）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）法一：由已知結合正弦定理對已知化簡可求B，進而可判斷三角形的形狀
法二：由已知結合余弦定理對已知化簡可求B，進而可判斷三角形的形狀
（II）由輔助角公式對已知函數f（x）先化簡，然后代入可求f（A），結合（I）中的角B可求A的 范圍，然后結合正弦函數的性質即可求解
解答：解：（Ⅰ）（法1）因為 asinB-bcosC=ccosB，
由正弦定理可得 sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．         …（3分）
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，
所以 sin（C+B）=sinAsinB．                                …（4分）
因為在△ABC中，A+B+C=π，
所以 sinA=sinAsinB又sinA≠0，…（5分）
所以 sinB=1，．
所以△ABC為的直角三角形．                           …（6分）
（法2）因為 asinB-bcosC=ccosB，
由余弦定理可得 ，…（4分）
所以 asinB=a．
因為a≠0，所以sinB=1．                                  …（5分）
所以在△ABC中，．
所以△ABC為的直角三角形．                           …（6分）
（Ⅱ）因為 ，…（8分）
所以 ．                                 …（9分）
因為△ABC是的直角三角形，
所以 ，…（10分）
所以 ，…（11分）
所以 ．                                  …（12分）
即f（A）的最大值為．                                    …（13分）
點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式在求解三角形中的應用，其中正弦函數性質的靈活應用是求解（II）的關鍵