Question

7．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）•sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）-sin（π+x），且函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈[0，$\frac{π}{2}$），使等式[g（x）]²-mg（x）+2=0成立，求實(shí)數(shù)a的最大值和最小值；
（Ⅲ）若當(dāng)x∈[0，$\frac{11π}{12}$]時(shí)不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用三角函數(shù)圖象的對稱性求得函數(shù)g（x）的解析式．
（Ⅱ）利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得t=g（x）∈[1，2]．由題意可得，即t²-mt+2=0能成立，即m=t+$\frac{2}{t}$，t∈[1，2]．再利用對勾函數(shù)的單調(diào)性，求得實(shí)數(shù)m的最大值和最小值．
（Ⅲ）當(dāng)x∈[0，$\frac{11π}{12}$]時(shí)，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，g（-x）∈[-1，1]，利用當(dāng)x∈[0，$\frac{11π}{12}$]時(shí)不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）•sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）-sin（π+x）
=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）•cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）+sinx
=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）+sinx
=$\sqrt{3}$cosx+sinx
=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對稱，
∴g（x）=f（$\frac{π}{2}$-x）=2sin（$\frac{π}{2}$-x+$\frac{π}{3}$）
=2sin（$\frac{5π}{6}$-x）=2cos（$\frac{π}{3}$-x）=2cos（x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）由x∈[0，$\frac{π}{2}$），可得x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），
∴cos（x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴t=g（x）∈[1，2]．
若存在x∈[0，$\frac{π}{2}$），使等式[g（x）]²-mg（x）+2=0成立，即t²-mt+2=0能成立，
即m=t+$\frac{2}{t}$，t∈[1，2]．
由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)m在[1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{2}$，2]上單調(diào)遞增，
當(dāng)t=1時(shí)，m=3；t=$\sqrt{2}$時(shí)，m=2$\sqrt{2}$，t=2時(shí)，m=3，
故實(shí)數(shù)m的最大值為3，最小值為2$\sqrt{2}$．
（Ⅲ）當(dāng)x∈[0，$\frac{11π}{12}$]時(shí)，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，g（-x）∈[-1，1]，
∵當(dāng)x∈[0，$\frac{11π}{12}$]時(shí)不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，
∴a＜-$\sqrt{2}$或a＞$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)圖象的對稱性，余弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的能成立問題，對勾函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．