精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知不共線的兩個向量 $數(shù)學(xué)公式$ ， $數(shù)學(xué)公式$ ，| $數(shù)學(xué)公式$ |=| $數(shù)學(xué)公式$ |=3，若 $數(shù)學(xué)公式$ （0＜λ＜1），且| $數(shù)學(xué)公式$ |= $數(shù)學(xué)公式$ ，則| $數(shù)學(xué)公式$ |的最小值為________．

$\text{[math]}$
分析：通過 $\text{[math]}$ ，求出| $\text{[math]}$ |²，| $\text{[math]}$ |最小時 $\text{[math]}$ 最大．利用3=| $\text{[math]}$ |²，通過基本不等式求出 $\text{[math]}$ 的最大值，然后求出|AB|的最小值是 $\text{[math]}$ ．
解答： $\text{[math]}$ ，
| $\text{[math]}$ |²=（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）
=| $\text{[math]}$ |²+| $\text{[math]}$ |²-2（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）
=18-2（ $\text{[math]}$ ），
| $\text{[math]}$ |最小時 $\text{[math]}$ 最大．
3=| $\text{[math]}$ |²=[λ $\text{[math]}$ +（1-λ） $\text{[math]}$ ]•[λ $\text{[math]}$ +（1-λ） $\text{[math]}$ ]
=9λ²+9（1-λ）²+2λ（1-λ）（ $\text{[math]}$ ），
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =9+ $\text{[math]}$ =9+ $\text{[math]}$ ；
因為λ（1-λ）≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以λ（1-λ）的最大值是 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ≤9- $\text{[math]}$ =-3．
所以 $\text{[math]}$ 的最大值是-3，
| $\text{[math]}$ |²=18-2（ $\text{[math]}$ ）≥18+6=24，
所以|AB|的最小值是 $\text{[math]}$ ．
故答案為： $\text{[math]}$ ．
點評：本題考查向量的基本運算，向量模的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．

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