Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0，且a為常數(shù)）．過弦AB的中點(diǎn)M作平行于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)D，連結(jié)AD、BD得到△ABD．
（Ⅰ）求證：a²k²=16（1-kb）；
（Ⅱ）求證：△ABD的面積為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意得：4+

1

2

p=5，解方程求出p值，可得求拋物線C的方程；
（2）（Ⅰ）聯(lián)立直線和拋物線的方程得：ky²-4y+4b=0，由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=

4

k

，y₁•y₂=

4b

k

．由|y₁-y₂|=a，得（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=a²，整理得a²k²=16（1-kb）；
（Ⅱ）由（ I）知AB中點(diǎn)M（

2-bk

k2

，

2

k

），所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

1

k2

，

2

k

），依題意知：△ABD的面積S=

1

2

•DM•|y₁-y₂|，整理得S=

a3

32

．又由a為常數(shù)，故△ABD的面積為定值．

解答： 解：（1）依題意得：4+

1

2

p=5，解得p=2．
所以拋物線方程為y²=4x．
證明：（2）（ I）由方程組

y=kx+b y2=4x

，
消去x得：ky²-4y+4b=0．（※）
依題意可知：k≠0．
由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=

4

k

，y₁•y₂=

4b

k

．
由|y₁-y₂|=a，得（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=a²，
即

16

k2

-

16b

k

=a2，整理得-16kb=a²k²，
所以a²k²=16（1-kb）．
（ II）由（ I）知AB中點(diǎn)M（

2-bk

k2

，

2

k

），
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

1

k2

，

2

k

），
依題意知：△ABD的面積S=

1

2

•DM•|y₁-y₂|=

a

2

×|

1-bk

k2

|．
又因?yàn)榉匠蹋ā�）中判別式△=16-16kb＞0，得1-kb＞0．
所以S=

a

2

×

1-bk

k2

，由（ I）可知1-kb=

a2k2

16

，
所以S=

a

2

×

a2

16

=

a3

32

．
又由a為常數(shù)，故△ABD的面積為定值．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握拋物線的基本性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．