拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線x＋y－1＝0與拋物線相交于A、B兩點，且|AB|＝.

(1)求拋物線的方程；

(2)在x軸上是否存在一點C，使△ABC為正三角形？若存在，求出C點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解析】　(1)設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，

由消去y，

得x2－2(1＋p)x＋1＝0.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則x1＋x2＝2(1＋p)，

x1·x2＝1.∵|AB|＝，

∴

＝，∴121p2＋242p－48＝0，

∴p＝或－(舍)．

∴拋物線的方程為y2＝x.

(2)設(shè)AB的中點為D，

則D.

假設(shè)x軸上存在滿足條件的點C(x0,0)，∵△ABC為正三角形，

∴CD⊥AB，∴x0＝.

∴C，∴|CD|＝.

又∵|CD|＝|AB|＝，

故矛盾，∴x軸上不存在點C，使△ABC為正三角形．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

13、拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點在直線x-y+4=0上，則此拋物線方程為
y2=-16x或x2=16y
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線方程為x=-2，則拋物線的方程是（　�。�
A、y2=-8xB、y2=8xC、y2=-4xD、y2=4x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇一模）本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證的能力．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線的頂點在原點，焦點為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B，作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線MN與x軸的交點恰為F（1，0），求證：直線AB過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點在直線x-y+2=0上，則此拋物線方程為
y2=-8x或x2=8y
y2=-8x或x2=8y
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)實軸長為4
3
的橢圓的中心在原點，其焦點F1，，F(xiàn)2在x軸上．拋物線的頂點在原點O，對稱軸為y軸，兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B，C，若
AC
=2
AB
，求直線l的斜率k．

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