Question

如圖,在三棱錐A—BCD中,側面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=,BD=CD=1.另一個側面ABC是正三角形.

(1)求證:AD⊥BC;

(2)求二面角B-AC-D的大小;

(3)在線段AC上是否存在一點E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定點E的位置;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)證法一:作AH⊥面BCD于H,連結DH,AB⊥BDHB⊥BD,

∵AD=,BD=1,

∴AB==BC=AC.

∴BD⊥DC.

又BD=CD,則BHCD是正方形,

則DH⊥BC,

∴AD⊥BC.

證法二:取BC的中點O,連結AO、DO,

則有AO⊥BC,DO⊥BC.

∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.

(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,

則∠BMN就是二面角BACD的平面角.

∵AB=AC=BC=,

∴M是AC的中點,且MN∥CD.

∴BM=,MN=CD=,BN=AD=.

由余弦定理得cos∠BMN=.

∴∠BMN=arccos.

(3)解:設E為所求的點,作EF⊥CH于F,連結FD,則EF∥AH.

∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED與面BCD所成的角,則∠EDF=30°.

設EF=x,易得AH=HC=1,則CF=x,FD=1+x².

∴tan∠EDF=,解得x=,則CE==1.

故線段AC上存在E點,且CE=1時,ED與面BCD成30°角.