Question

5．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點$（2，\sqrt{3}）$，且它的離心率e=$\frac{1}{2}$．直線l：y=kx+t與橢圓C₁交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C₂：（x-1）²+y²=1相切，橢圓上一點P滿足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OP}$，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點$（2，\sqrt{3}）$，且它的離心率e=$\frac{1}{2}$，求出a，b，即可求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）因為直線l：y=kx+t與圓（x-1）²+y²=1相切，所以2k=$\frac{1-{t}^{2}}{t}$，把y=kx+t代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，由此能求出實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 由已知得：$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}$=1，$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，
所以橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
因為直線l：y=kx+t與圓（x-1）²+y²=1相切，
所以$\frac{|t+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，2k=$\frac{1-{t}^{2}}{t}$，t≠0，
把y=kx+t代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x₁+x₂=-$\frac{8kt}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{6t}{3+4{k}^{2}}$
因為λ$\overrightarrow{OP}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
所以P（$\frac{-8kt}{（3+4{k}^{2}）λ}$，$\frac{6t}{（3+4{k}^{2}）λ}$），
又因為點C在橢圓上，所以代入整理可得λ²=$\frac{2{t}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{2}{（\frac{1}{{t}^{2}}）^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+1}$
因為t²＞0，所以$（\frac{1}{{t}^{2}}）^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+1＞1$，
所以0＜λ²＜2，所以λ的取值范圍為（-$\sqrt{2}$，0）∪（0，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查平面向量的運算、直線與圓相切及韋達定理，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，對能力要求高．