Question

在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2．
（Ⅰ）若C=

π

3

，且△ABC的面積等于

3

，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由c與cosC的值，利用余弦定理列出關系式，利用三角形面積公式列出關系式，把sinC的值代入列出關系式，聯(lián)立求出a，b的值即可；
（Ⅱ）已知等式右邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，由cosA的值為0與不為0兩種情況求出a的范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵c=2，C=

π

3

，∴由余弦定理得：a²+b²-ab=4，
又∵△ABC的面積等于

3

，
∴

1

2

absinC=

3

，即ab=4，
聯(lián)立方程組

a2+b2-ab=4 ab=4

，
解得：a=b=2；
（Ⅱ）由題意得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
當cosA=0，即A=

π

2

時，a²=b²+4＞4，故a∈（2，+∞）；
當cosA≠0，即A≠

π

2

時，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
由三條邊構成三角形的條件可得：

3a＞2 a+2＞2a

，即a∈（

2

3

，2），
綜上：當A=

π

2

時，a∈（2，+∞）；當A≠

π

2

時，a∈（

2

3

，2）．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．