Question

4．已知橢圓x²+2y²=1，過原點的兩條直線l₁和l₂分別于橢圓交于A、B和C、D，記得到平行四邊形ABCD的面積為S．
（1）設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），用A、C的坐標表示點C到直線l₁的距離，并證明S=|x₁y₂-x₂y₁|．
（2）設(shè)l₁與l₂的斜率之積為$-\frac{1}{2}$，求面積S的值．

Answer 1

分析 （1）依題意，直線l₁的方程為，利用點到直線間的距離公式可求得點C到直線l₁的距離d=$\frac{丨{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}丨}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}}$，再利用|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$，可證得S=|AB|d=2|x₁y₂-x₂y₁|；當l₁與l₂時的斜率之一不存在時，同理可知結(jié)論成立；
（2）方法一：設(shè)直線l₁的斜率為k，則直線l₂的斜率為-$\frac{1}{2k}$，可得直線l₁與l₂的方程，聯(lián)立方程組，可求得x₁、x₂、y₁、y₂，繼而可求得答案．
方法二：設(shè)直線l₁、l₂的斜率分別為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，則$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，利用A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在橢圓x²+2y²=1上，求得|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可求得面積S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）依題意，直線l₁的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，
由點到直線間的距離公式得：點C到直線l₁的距離d=$\frac{丨\frac{{y}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}}-{y}_{2}丨}{\sqrt{1+（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}）^{2}}}$=$\frac{丨{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}丨}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}}$，
由|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$，
∴S=|AB|d=2|x₁y₂-x₂y₁|；
當l₁與l₂時的斜率之一不存在時，同理可知結(jié)論成立；
（2）方法一：設(shè)直線l₁的斜率為k，則直線l₂的斜率為-$\frac{1}{2k}$，
設(shè)直線l₁的方程為y=kx，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y解得x=±$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
根據(jù)對稱性，設(shè)x₁=$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，則y₁=$\frac{k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
同理可得x₂=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，y₂=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
∴S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．
方法二：設(shè)直線l₁、l₂的斜率分別為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，則$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁x₂=-2y₁y₂，
∴x₁²x₂²=4y₁²y₂²=-2x₁x₂y₁y₂，
∵A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在橢圓x²+2y²=1上，
∴（x₁²+2y₁²）（x₂²+2y₂²）=x₁²x₂²+4y₁²y₂²+2（x₁²y₂²+x₂²y₁²）=1
即-4x₁x₂y₁y₂+2（x₁²y₂²+x₂²y₁²）=1，
∴（x₁y₂-x₂y₁）²=$\frac{1}{2}$，即|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力，屬于中檔題．