Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=2S_n+1（n∈N^*），則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由S_n+1=2S_n+1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+1，可得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1），即a_n+1=2a_n，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答： 解：由S_n+1=2S_n+1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+1，
∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1），即a_n+1=2a_n，
∴

an+1

an

=2，
又a₁=1，得S₂=2a₁+1=3=a₁+a₂，
∴a₂=2，∴

a2

a1

=2，
因此n=1時(shí)也成立．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2n-1．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，一般遇到數(shù)列的前n項(xiàng)和之間的遞推公式，經(jīng)常利用a_n=S_n-S_n-1進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．