Question

在直角坐標系xOy中，已知定點A（-1，0），動點C在射線y=-x（x≤0）上運動，動點D在射線y=x（x≥0）上運動，且滿足

AC

•

AD

=0．
（1）是否存在點C，使|

CD

|=

10

，若存在，求出C點坐標；若不存在，請說明理由；
（2）求證∠ACD是為定值，且求出∠ACD的大�。�

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）假設存在點C，使|

CD

|=

10

．可設C（m，-m），D（n，n），（m≤0，n≥0），由向量的數(shù)量積的坐標運算和向量模的公式，可得m，n方程，解出即可；
（2）運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，求出AC，AD的長，判斷三角形ACD的形狀，進而得到∠ACD為定值，求出即可．

解答： 解：（1）假設存在點C，使|

CD

|=

10

．
可設C（m，-m），D（n，n），（m≤0，n≥0），

AC

=（m+1，-m），

AD

=（n+1，n），
由于

AC

•

AD

=0，則（m+1）（n+1）-mn=0，
即m+n=-1①
又|

CD

|=

10

，即

(n-m)2+(n+m)2

=

10

，
化簡得m²+n²=5，②
由①②可得，m=-2，n=1．
則存在點C（-2，2），使|

CD

|=

10

．
（2）證明：由

AC

•

AD

=0，則AC⊥AD，
可設C（m，-m），D（n，n），（m≤0，n≥0），

AC

=（m+1，-m），

AD

=（n+1，n），
由于

AC

•

AD

=0，則（m+1）（n+1）-mn=0，
即m+n=-1，
則|

AC

|=

(m+1)2+m2

=

2m2+2m+1

，
|

AD

|=

(n+1)2+n2

=

(-1-m+1)2+(-1-m)2

=

2m2+2m+1

，
即有|

AC

|=|

AD

|，
則△ACD為等腰直角三角形，
則有∠ACD是為定值，且為45°．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，主要考查向量垂直的條件和向量模的公式，考查三角形的形狀的判斷進而求內(nèi)角，屬于中檔題．