Question

《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)著作之一，書里有這樣一題：甲牽一只肥羊走過來問牧羊人：“你趕得這群羊大概有100只吧？”牧羊人答：“如果這群羊加上一倍，再加上原來這群羊的一半，又加原來這群羊的

1

4

，連你牽著的這只肥羊也算進(jìn)去，才剛好湊滿一百只”．
（1）這位牧羊人趕得這群羊共有a只，則a=

 

．
（2）若正數(shù)x，y滿足x+y=

1

4

a，則以x，y為邊長的矩形的面積的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得：a+a+

1

2

a+

1

4

a+1=100，解得即可；
（2）由于正數(shù)x，y滿足x+y=

1

4

a=9，利用基本不等式可得：S=xy≤(

x+y

2

)2即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得：a+a+

1

2

a+

1

4

a+1=100，化為11a=99×4，解得a=36．
∴這位牧羊人趕得這群羊共有36只．
（2）∵正數(shù)x，y滿足x+y=

1

4

a=9，
∴S=xy≤(

x+y

2

)2=

81

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

9

2

時(shí)取等號(hào)．
∴以x，y為邊長的矩形的面積的最大值是

81

4

．
故答案分別為：36，

81

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、列方程解應(yīng)用題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．