Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右準(zhǔn)線方程是x=4，左、右頂點分別為A、B．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動點M滿足MB⊥AB，直線AM交橢圓于點P，求證：

OM

•

OP

為定值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)以線段MP為直徑的圓與直線BP交于點Q，試問：直線MQ是否過定點？若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 a2 c =4 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由已知A（-2

2

，0），B（2

2

，0），M（2

2

，y_M），設(shè)P（x₁，y₁），直線MA的方程為y=

yM

4 2

x+

yM

2

，代入

x2

8

+

y2

4

=1，得（1+

ym2

16

）x²+

yM2

2 2

x+

yM2

2

-8=0，從而x₁=

-2 2 (yM2-16)

yM2+16

，y₁=

16yM

yM2+16

，由此求出

OM

•

OP

為定值8．
（3）依題意k_PB=

16yM yM2+16

-2 2 (yM2-16) yM2+16 -2 2

=-

2 2

yM

，由MQ⊥PB，得k_MQ=

yM

2 2

，從而MQ的方程為y=

yM

2 2

x，由此得直線MQ過定點O（0，0）．

解答： （1）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右準(zhǔn)線方程是x=4，
∴

e= c a = 2 2 a2 c =4 a2=b2+c2

，解得a=2

2

，b=2，c=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）證明：∵橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1，
∴A（-2

2

，0），B（2

2

，0），
∵M(jìn)B⊥AB，∴M（2

2

，y_M），設(shè)P（x₁，y₁），
直線MA的方程為y=

yM

4 2

x+

yM

2

，
代入

x2

8

+

y2

4

=1，得（1+

ym2

16

）x²+

yM2

2 2

x+

yM2

2

-8=0，
由-2

2

x1=

8(yM2-16)

yM2+16

，得x₁=

-2 2 (yM2-16)

yM2+16

，從而y₁=

16yM

yM2+16

，
∴

OM

•

OP

=（

-2 2 (yM2-16)

yM2+16

，

16yM

yM2+16

）•（2

2

，y_M）
=

-8ym2+128

yM2+16

+

16yM2

yM2+16

=8，
∴

OM

•

OP

為定值8．
（3）解：直線MQ過定點O（0，0），理由如下：
依題意k_PB=

16yM yM2+16

-2 2 (yM2-16) yM2+16 -2 2

=-

2 2

yM

，
由MQ⊥PB，得k_MQ=

yM

2 2

，
則MQ的方程為y-y_M=

yM

2 2

（x-2

2

），即y=

yM

2 2

x，
∴直線MQ過定點O（0，0）．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查

OM

•

OP

為定值的證明，考查直線MQ是否過定點的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．