已知函數(shù)f(x)=a-
22x+1
 (a∈R)

(1)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)為f(x)奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(3)在(2)的條件下,若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2+2)+f(t2-tk)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明;
(2)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(0)=a-1=0,可得a=1,再進(jìn)行驗(yàn)證即可;
(3)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),從而不等式f(t2+2)+f(t2-tk)>0對(duì)任意的t∈R恒成立等價(jià)于不等式f(t2+2)>f(tk-t2)對(duì)任意的t∈R恒成立.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù).證明如下:…(1分)
證明:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x1,x2∈R,設(shè)x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(a-
2
2x1+1
)-(a-
2
2x2+1
)
=
2
2x2+1
-
2
2x1+1
=
2(2x1-2x2)
(2x2+1)(2x1+1)
.…(3分)
因?yàn)閥=2x是R上的增函數(shù),且x1<x2,所以2x1-2x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù).…(4分)
(2)∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù),∴f(0)=a-1=0,∴a=1.…(6分)
當(dāng)a=1時(shí),f(x)=1-
2
2x+1
=
2x-1
2x+1

∴f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-
2x-1
2x+1
=-f(x),…(8分)
此時(shí),f(x)為奇函數(shù),滿足題意,所以,a=1.…(8分)
(3)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),從而不等式f(t2+2)+f(t2-tk)>0對(duì)任意的t∈R恒成立等價(jià)于不等式f(t2+2)>f(tk-t2)對(duì)任意的t∈R恒成立.…(9分).
又因?yàn)樵冢?∞,+∞)上為增函數(shù),所以等價(jià)于不等式t2+2>tk-t2對(duì)任意的t∈R恒成立,即不等式2t2-kt+2>0對(duì)任意的t∈R恒成立.…(10分)
所以必須有△=k2-16<0,即-4<k<4,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍{k|-4<k<4}.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,考查恒成立問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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