Question

已知圓C：（x-a²）²+（y-a）²=

1

64

（a∈R），則下列命題：
①圓C上的點(diǎn)到（1，0）的最短距離的最小值為

7

8

；
②圓C上有且只有一點(diǎn)P到點(diǎn)（

1

8

，0）的距離與到直線x=-

3

8

的距離相等；
③已知A（

3

8

，0），在圓C上有且只有一點(diǎn)P，使得以AP為直徑的圓與直線x=

1

8

相切．
真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓的方程,直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓,簡易邏輯

分析：利用動(dòng)圓圓心與（1，0）的距離減去圓的半徑求出最小值判斷①的正誤；
利用動(dòng)圓圓心軌跡方程結(jié)合動(dòng)圓的半徑，判斷②的正誤；
利用動(dòng)圓圓心軌跡方程結(jié)合動(dòng)圓的半徑，說明以AP為直徑的圓與直線x=

1

8

相切，判斷③的正誤．

解答： 解：對(duì)于①，動(dòng)圓圓心與（1，0）的距離減去圓的半徑為：

(a2-1)2+a2

-

1

8

=

(a2- 1 2 )2+ 3 4

-

1

8

≥

3

2

-

1

8

≠

7

8

，
∴①不正確．
對(duì)于②，已知?jiǎng)訄AC的圓心（a²，a）的軌跡方程為：y²=x，
∴動(dòng)圓C構(gòu)成的軌跡為夾在拋物線y²=x-

1

8

和拋物線y²=x+

1

8

之間的部分（包括邊界），
拋物線y²=x+

1

8

是以點(diǎn)（

1

8

，0）為焦點(diǎn)以直線x=-

3

8

為準(zhǔn)線的拋物線方程，∴圓C上有且只有一點(diǎn)P到點(diǎn)（

1

8

，0）的距離與到直線x=-

3

8

的距離相等；
這個(gè)點(diǎn)就是拋物線與x軸的交點(diǎn)．②正確．
對(duì)于③，A（

3

8

，0），在圓C上有且只有一點(diǎn)P，使得以AP為直徑的圓與直線x=

1

8

相切．
動(dòng)圓圓心與（

3

8

，0）的距離減去圓的半徑為：

(a2- 3 8 )2+a2

-

1

8

=

(a2+ 1 8 )2+ 8 64

-

1

8

≥

3

8

-

1

8

=

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)等號(hào)成立．
此時(shí)在圓C上有且只有一點(diǎn)P（

1

8

，0），使得以AP為直徑的圓與直線x=

1

8

相切．③正確．
∴②③滿足題意．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，曲線軌跡方程的綜合應(yīng)用，難度比較大．