Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式t²+3t＞f（x）在x∈R上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件根據(jù)絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）≤5的解集．
（2）由題意可得則t²+3t＞f_min（x）=4，由此求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-3.5、1.5對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5，
故不等式f（x）≤5的解集為{x|-3.5≤x≤1.5}．
（2）若不等式t²+3t＞f（x）在x∈R上有解，則t²+3t＞f_min（x）=4，
解得t＜-4，或t＞1，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為{t|t＜-4，或t＞1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的能成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．