Question

19．已知拋物線y²=8x，離心率為2的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1與它有公共焦點F，若P是兩曲線的一個公共點，則△OPF（O為坐標原點）的面積為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{6}$
• C． 3
• D． 6

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點F，可得m+n=4，再由離心率公式可得m=1，n=3，聯立雙曲線的方程和拋物線的方程，求得交點P，再由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點F（2，0），
離心率為2的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1，可得
m+n=4，$\frac{m+n}{m}$=4，
解得m=1，n=3，
雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，解得交點P（3，±2$\sqrt{6}$），
則△OPF（O為坐標原點）的面積為
$\frac{1}{2}$|OF|•|y_P|=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，考查拋物線的焦點坐標，以及三角形的面積的求法，運算求解能力，屬于中檔題．