Question

5．圓M的圓心在直線y=2x-4上，且與直線x+y=1相切于點(diǎn)A（2，-1）
（1）試求圓M的方程；
（2）從點(diǎn)P（4，3）發(fā)出的光線經(jīng)直線y=x反射后可以照在圓M上，試求反射光線所在直線斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓心的坐標(biāo)為（a，2a-4），根據(jù)圓心到直線的距離等于圓的半徑列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）設(shè)發(fā)出光線所在直線的斜率為k，求出發(fā)射光線所在直線的方程，再利用圓心到直線的距離不大于半徑，建立不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)所求圓心坐標(biāo)為（a，2a-4），
則由條件得 $\sqrt{{（a-2）}^{2}{+（2a-4+1）}^{2}}$=$\frac{|a+2a-4-1|}{\sqrt{2}}$，
化簡(jiǎn)得a²+6a+9=0，∴a=1，
∴圓心為（1，-2），半徑r=$\sqrt{2}$，
∴所求圓方程為（x-1）²+（y+2）²=2；
（2）設(shè)發(fā)出光線所在直線的斜率為k，過P（4，3），
故直線方程是：kx-y-4k+3=0，①，
則①與y=x的交點(diǎn)是（$\frac{4k-3}{k-1}$，$\frac{4k-3}{k-1}$），
點(diǎn)P（4，3）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），
故反射光線的斜率是$\frac{1}{k-2}$，
∴反射光線所在直線的方程為：x-（k-2）y+4k-11=0，
∵點(diǎn)P（4，3）發(fā)出的光線經(jīng)直線y=x反射后可以照在圓M上，
∴$\frac{|1+2（k-2）+4k-11|}{\sqrt{1{+（k-2）}^{2}}}$≤$\sqrt{2}$，解得：$\frac{80-\sqrt{19}}{34}$≤k≤$\frac{80+\sqrt{19}}{34}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，常常利用此性質(zhì)列出方程來解決問題．