已知函數(shù)f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*)，定義使f（1）•f（2）…f（k）為整數(shù)的數(shù)k（k∈N*）叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間[1，2011]內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有
9
9
個．
分析：由已知中函數(shù)f（n）=logn+1（n+2）（n∈N*），由對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)易得f（1）•f（2）…f（k）=log2（k+2），若其值為整數(shù)，則k+2=2n（n∈Z），結(jié)合k∈[1，2011]，我們易得到滿足條件的數(shù)的個數(shù)．
解答：解：∵函數(shù)f（n）=logn+1（n+2）（n∈N*），
∴f（1）=log23，
f（2）=log34
…
f（k）=logk+1（k+2），
∴f（1）•f（2）…f（k）=log23•log34…logk+1（k+2）
=
lg3
lg2
•
lg4
lg3
…
lg(k+2)
lg(k+1)
=
lg(k+2)
lg2
=log2（k+2），
若f（1）•f（2）…f（k）為整數(shù)
則k+2=2n（n∈Z）
又∵k∈[1，2011]，
故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510，1022}
故答案為：9．
點評：本題考查的知識點是對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，其中用換底公式logab=
logcb
logca
求得（1）•f（2）…f（k）=log2（k+2）是解答本題的關(guān)鍵，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xn，其中n∈Z，n≥2．曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））（x0＞0）處的切線為l，l與x軸交于點Q，與y軸交于點R，則
|PQ|
|PR|
=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+alnx．其中常數(shù)a＞0．
（1）當(dāng)a＞2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a=4時，給出兩類直線：6x+y+m=0與3x-y+n=0，其中m，n為常數(shù)，判斷這兩類直線中是否存在y=f（x）的切線，若存在，求出相應(yīng)的m或n的值，若不存在，說明理由．
（3）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x0，h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x0時，若
h(x)-g(x)x-x0
＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”，當(dāng)a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x（x-
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）的定義域為（n，n+1）（n∈N*），f（x）的函數(shù)值中所有整數(shù)的個數(shù)記為g（n）．
（1）求出g（3）的值；
（2）求g（n）的表達(dá)式；
（3）若對于任意的n∈N*，不等式（Cn0+Cn1+…+Cnn）l≥g（n）-25（其中Cni，i=1，2，3，…，n為組合數(shù)）都成立，求實數(shù)l的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2bx的圖象在點A（0，f（0））處的切線L與直線x-y+3=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2013的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2013的值為（　�。�

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