Question

已知橢圓C：的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．

（1）求橢圓的方程．

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和,且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍

 

Answer 1

（1） ；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由題意可得圓的方程為,圓心到直線的距離；

根據(jù)橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得，即可得到所求橢圓方程．

（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，設(shè)

將直線方程代入橢圓方程得：

根據(jù)得到；

設(shè),應(yīng)用韋達(dá)定理．

討論當(dāng)k=0，的情況，確定的不等式．

試題解析：（1）由題意：以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為,

∴圓心到直線的距離

∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得 ∴

故所求橢圓方程為 4分

（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，設(shè)

將直線方程代入橢圓方程得： 6分

∴

∴

設(shè),則 8分

當(dāng)k=0時(shí)，直線l的方程為y=0,此時(shí)t=0，成立，故，t=0符合題意。

當(dāng)時(shí)

得

∴ 10分

將上式代入橢圓方程得：

整理得：

由知

所以 12分

考點(diǎn)：1．橢圓的方程及其幾何性質(zhì)；2．直線與橢圓的位置關(guān)系；3．直線與圓的位置關(guān)系．