Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，虛軸的一個端點為A，若AF與雙曲線C的一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)出F（c，0），A（0，b），雙曲線C的一條漸近線y=$\frac{a}$x，運用兩點的斜率公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合雙曲線的a，b，c的關(guān)系和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可設(shè)F（c，0），A（0，b），
若AF與雙曲線C的一條漸近線y=$\frac{a}$x垂直，
可得$\frac{b-0}{0-c}$•$\frac{a}$=-1，
即為ac=b²，由b²=c²-a²，
即有c²-ac-a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$可得e²-e-1=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（負(fù)的舍去），
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于中檔題．