Question

已知函數(shù)y=log2

x

4

•log4

x

2

（2≤x≤4），求該函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換低公式，化簡函數(shù)的解析式，再把“對數(shù)log₂x”作為一個整體利用配方法進(jìn)行化簡，由log₂x的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的值域．

解答：解：由y=log2

x

4

•log4

x

2

=（log₂x-log₂4）（log₄x-log₂2）
=

1

2

(log2x-log24)(log2x-log22)=

1

2

lo

g

2 2

x-

3

2

log2x+1，
設(shè)t=log₂x，則y=

1

2

t2-

3

2

t+1，又∵2≤x≤4，∴1≤t≤2，
所以，當(dāng)t=

3

2

時，ymin=-

1

8

；當(dāng)t=1或2時，y_max=0，
所以，函數(shù)的值域是[-

1

8

，0]．

點(diǎn)評：本題考查了求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域，把“對數(shù)log₂x”作為一個整體，求它的范圍，利用對數(shù)的運(yùn)算把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于它的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域，考查了整體思想和轉(zhuǎn)化思想．