Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S${\;}_{{n}_{\;}}$，且a₁=1，a_n+1=3S_n（n=1，2，3，…），則log₂S₂₀₁₆=4030．

Answer 1

分析 由已知遞推式可得a_n=3S_n-1（n≥2），與原式聯(lián)立可得數(shù)列{a_n}自第二項(xiàng)起，構(gòu)成以3為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，求出S₂₀₁₆，代入log₂S₂₀₁₆得答案．

解答 解：由a_n+1=3S_n，得a_n=3S_n-1（n≥2），
兩式作差得：a_n+1-a_n=3a_n，即a_n+1=4a_n（n≥2）．
由a₁=1，a_n+1=3S_n，得a₂=3，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=4（n≥2）$，
則數(shù)列{a_n}自第二項(xiàng)起，構(gòu)成以3為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，
∴${S}_{2016}=1+\frac{3（1-{4}^{2015}）}{1-4}={4}^{2015}$．
∴l(xiāng)og₂S₂₀₁₆=$lo{g}_{2}{4}^{2015}=lo{g}_{2}{2}^{4030}=4030$．
故答案為：4030．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了對(duì)數(shù)式的運(yùn)算法則，是中檔題．