Question

已知B、C是拋物線(xiàn)x²=2py（p＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OB|=|OC|，且△BOC的垂心為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)BC的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)BC與Y軸相交于A點(diǎn)，Q為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，eQ以Q為圓心且過(guò)點(diǎn)A，問(wèn)是否存在定直線(xiàn)平行于x軸，且被eQ截得的弦長(zhǎng)為定值？

Answer 1

分析：（1）由|OB|=|OC|得知，B、C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，再由△BOC的垂心為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)．得OC⊥BF，從而由此求得BC的方程；
（2）由（1）知A點(diǎn)坐標(biāo)，由線(xiàn)y=b和圓Q截得弦長(zhǎng)為定值得到幾何關(guān)系，由此求出交點(diǎn)弦長(zhǎng)，及求出定直線(xiàn)方程．

解答：解：（1）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由|OB|=|OC|得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
又x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，代入上式化簡(jiǎn)得（y₁-y₂）（y₁+y₂+2p）=0，
而y₁，y₂≥0，∴y₁=y₂．即B、C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-x₁，y₁）
kOC=-

y1

x1

，kBF=

y1- p 2

x1

又OC⊥BF，∴-

y1

x1

•

y1- p 2

x1

=-1化簡(jiǎn)得y1=

5

2

p，
所以BC的方程為y=

5

2

p．
（2）由（1）得A(0，

5

2

p)，設(shè)Q（x₀，y₀），假設(shè)存在直線(xiàn)y=b和圓Q截得弦長(zhǎng)為定值，設(shè)兩交點(diǎn)為M、N，
則由勾股定理得
(

1

2

MN)2=QA2-(Q到直線(xiàn)y=b的距離)2
=x02+(y0-

5

2

p)2-(y0-b)2      
又∵b=

5

2

p，x₀²=2py₀∴MN=4P，即直線(xiàn)y=

3

2

p．
因此，存在這樣的定直線(xiàn)平行于x軸，且被eQ截得的弦長(zhǎng)為定值．

點(diǎn)評(píng)：此題考拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，