Question

已知B、C是拋物線x²=2py（p＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OB|=|OC|，且△BOC的垂心為拋物線的焦點(diǎn)．
（1）求直線BC的方程；
（2）設(shè)直線BC與Y軸相交于A點(diǎn)，Q為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，eQ以Q為圓心且過(guò)點(diǎn)A，問(wèn)是否存在定直線平行于x軸，且被eQ截得的弦長(zhǎng)為定值？

Answer 1

【答案】分析：（1）由|OB|=|OC|得知，B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，再由△BOC的垂心為拋物線的焦點(diǎn)．得OC⊥BF，從而由此求得BC的方程；
（2）由（1）知A點(diǎn)坐標(biāo)，由線y=b和圓Q截得弦長(zhǎng)為定值得到幾何關(guān)系，由此求出交點(diǎn)弦長(zhǎng)，及求出定直線方程．
解答：解：（1）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由|OB|=|OC|得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
又x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，代入上式化簡(jiǎn)得（y₁-y₂）（y₁+y₂+2p）=0，
而y₁，y₂≥0，∴y₁=y₂．即B、C關(guān)于y軸對(duì)稱．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-x₁，y₁）
又OC⊥BF，∴化簡(jiǎn)得，
所以BC的方程為y=．
（2）由（1）得A，設(shè)Q（x，y），假設(shè)存在直線y=b和圓Q截得弦長(zhǎng)為定值，設(shè)兩交點(diǎn)為M、N，
則由勾股定理得

=      
又∵，x²=2py∴MN=4P，即直線y=．
因此，存在這樣的定直線平行于x軸，且被eQ截得的弦長(zhǎng)為定值．
點(diǎn)評(píng)：此題考拋物線的幾何性質(zhì)，及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，