Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y²=-2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與雙曲線x²-8y²=8的左焦點(diǎn)重合，點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=6，若P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，則|PO|+|PA|的最小值為（　�。�

• A． 3$\sqrt{5}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{7}$
• D． 3$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的左焦點(diǎn)得出拋物線的方程，解出A點(diǎn)坐標(biāo)，取O關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)B，則|AB|為|PO|+|PA|的最小值．

解答 解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}-{y}^{2}=1$，∴雙曲線的左焦點(diǎn)為（-3，0），即F（-3，0）．
∴拋物線的方程為y²=-12x，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=3，
∵|AF|=6，∴A到準(zhǔn)線的距離為6，∴A點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3，不妨設(shè)A在第二象限，則A（-3，6）．
設(shè)O關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為B（6，0），連結(jié)AB，則|PO|=|PB|，
∴|PO|+|PA|的最小值為|AB|．
由勾股定理得|AB|=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{117}$=3$\sqrt{13}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線，雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．